题目内容

已知△ABC：（1）如图1，BO、CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，相交于O．
①如果∠ABC=50°，则∠OBC=______度；
②试说明∠BOC=90°+ $数学公式$ ∠A．
（2）知识扩展：如图2，若BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，相交于点P，设∠A=x°，求∠BPC度数（用含x的代数式表示）．

解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC= $\text{[math]}$ ∠ABC=25°；
②∵OB、OC分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∵∠A=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴∠A=180°-2（∠OBC+∠OCB），
∴∠A=180°-2（180°-∠BOC），
∴∠A=-180°+2∠BOC，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+ $\text{[math]}$ ∠A．

（2）∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP= $\text{[math]}$ ∠CBM，∠BCP= $\text{[math]}$ ∠BCN，
∴∠CBP+∠BCP
= $\text{[math]}$ ∠CBM+ $\text{[math]}$ ∠BCN
= $\text{[math]}$ （∠CBM+∠BCN）
= $\text{[math]}$ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
= $\text{[math]}$ （180°+∠A），
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）
=180°- $\text{[math]}$ （180°+∠A）
=90°- $\text{[math]}$ ∠A
=90°- $\text{[math]}$ x°．
分析：（1）①根据角平分线的定义进行求解；②根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行证明．
（2）根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义进行证明．
点评：此题综合运用了三角形的内角和定理及其推论和角平分线的定义．