题目内容

如图，在平面直角坐标系中，有二次函数 $数学公式$ ，顶点为H，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），易证点H、B关于直线l： $数学公式$ 对称，且A在直线l上．过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，则HN+NM+MK的最小值为________

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分析：设 $\text{[math]}$ =0，则可求出抛物线和x轴的交点坐标，即A和B的坐标，再把抛物线解析式配方可求出顶点H的坐标，进而求出过A和H点的直线解析式，
因为过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，所以直线BK的斜率和直线AH的相等，又过B，所以可求出直线BK的解析式，再把直线l的解析式和BK的解析式联立，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解答：设 $\text{[math]}$ =0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
∵ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x+1）²+2 $\text{[math]}$ ，
∴顶点H的坐标是（-1，2 $\text{[math]}$ ），
设直线AH的解析式为y=kx+b，把A和H点的坐标代入求出k= $\text{[math]}$ ，b=3 $\text{[math]}$ ，
∵过点B作直线BK∥AH，
∴直线BK的解析式为y=mx+n中的m= $\text{[math]}$ ，
又因为B在直线BK上，代入求出n=- $\text{[math]}$ ，
∴直线BK的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
联立 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$ ，

∴交点K的坐标是（3，2 $\text{[math]}$ ），
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2 $\text{[math]}$ ），
∴HN+MN的最小值是MMB，KD=KE=2 $\text{[math]}$ ，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2 $\text{[math]}$ ，
则QM=MK，QE=EK=2 $\text{[math]}$ ，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB= $\text{[math]}$ =8，
∴HN+NM+MK的最小值为8．
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
故答案为：8．
点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．