Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；
（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；
解答：（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形；

（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∴AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∴∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10-2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD==10，
∴tan∠A=，
∴tan∠EFB==
如图3，∵EB=x，
∴FB=x，CE=6-x，
∴AF=MF=10-x，
∴GM=，
∴GD=2x-，
∴DE=-x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（-x）²-（6-x）²=4，
解得：x=，
∴当EG过点D时x=；


（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y=x•x=x²，
当点G在边AD上时，易求得x=，
此时0＜x≤，
则当x=时，y最大值为．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴，
即，由（2）知，x≤
y═-2x²+20x-=-2（x-5）²+（＜x≤），
当x=5时，y最大值为，
由于＞，故当x=5时，y最大值为．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，函数的解析式的性质的运用，分段函数的运用，三角函数值的运用，解答时求分段函数的解析式是难点．