Question

如图，已知在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，cos∠BAC=

4

5

，分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ADB和等腰三角形CEA，且AD⊥AC，AE⊥AB，连接DE，交AB于点F，
（1）求

S△ADB

S△AEC

的值；
（3）求

AF

FB

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形,平行四边形的判定与性质,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）先根据∠DAC=∠BAE=90°，得出∠DAB=∠EAC，再根据AD=BD，AE=EC，得出∠DBA=∠ECA，从而证出△ADB∽△AEC，得出

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，最后根据cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，即可求出

S△ADB

S△AEC

的值；
（2）先过点E作EH⊥AC，延长交AB于G，连接DG，得出AH=CH，EH⊥AC，根据∠BCA=90°，证出GH∥BC，AG=BG，再根据AD=BD，得出DG⊥AB，最后根据AD⊥AC，AE⊥AB，得出GE∥AD，DG∥AE，
从而证出四边形ADGE是平行四边形，得出AF=GF，即可求出答案．

解答：证明：（1）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=BD，AE=EC，
∴∠DAB=∠DBA，∠ECA=∠EAC，
∴∠DBA=∠ECA，
∴△ADB∽△AEC，
∴

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，
∵∠BCA=90°，
cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
∴

S△ADB

S△AEC

=

25

16

；

（2）过点E作EH⊥AC，延长交AB于G，连接DG，
∵AE=EC，
∴AH=CH，EH⊥AC，
∵∠BCA=90°，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GE∥AD，DG∥AE，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AF=GF，
∴

AF

FB

=

1

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质和解直角三角形，解题的关键是根据相似三角形的判定证出△ADB∽△AEC．