题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC为矩形，OA边在x轴上，OC边在y轴上．OB是矩形的对角线，点B的坐标是（8，4），点D在OA上，tan∠ABD=$\frac{3}{4}$．（1）求点D的坐标；
（2）点P从点O出发沿OA方向以每秒5个单位的速度匀速运动，过点P作PQ⊥OB，垂足为点Q，过点Q作QN∥x轴交AB于点N，交BD于点M．设MN=y，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点P的运动过程中，是否存在点Q，使sin∠AQD=$\frac{3}{5}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由B的坐标求出OA与AB的长，由tan∠ABD=$\frac{3}{4}$求出AD的长，从而求得OD的长，即可确定出D的坐标；
（2）由AB与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，根据△POQ∽△BOA求出OQ=2$\sqrt{5}$t，从而求得BQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得y=3-$\frac{3}{2}$t（0＜t＜2）；
（3）分两种情况分别求出Q的坐标即可．
解答 
解：（1）∵B（8，4），
∴OA=8，AB=4，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$．
∴AD=3，
∴OD=OA-AD=8-3=5，
∴D（5，0）；
（2）如图1所示，
在Rt△AOB中，OA=8，AB=4，
根据勾股定理得：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠PQO=∠BAO=90°，∠POQ=∠BOA，
∴△POQ∽△BOA，
∴$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{OQ}{8}$=$\frac{5t}{4\sqrt{5}}$，
∴OQ=2$\sqrt{5}$t，
∴BQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t，
∵QN∥x轴，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{BQ}{OB}$=$\frac{MN}{AD}$=$\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}$，
∴$\frac{y}{3}$=1-$\frac{1}{2}$t，
∴y=3-$\frac{3}{2}$t（0＜t＜2）
（3）如图2，当t=1时，P和D重合，
∵DQ⊥OB，BA⊥OA，
∴A、B、Q、D四点在以BD为直径的圆上，
∴∠AQD=∠ABD，
∴tan∠AQD=tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$；
∵AD=3，AB=4，
∴BD=5，
∴OD=BD=5，
∴Q是OB的中点，
∴Q（4，2）；
当t=2时，Q与B重合，则Q（8，4），显然tan∠AQD=tan∠ABD=$\frac{3}{4}$；
∵0＜t＜2，
∴当Q（4，2）时，sin∠AQD=$\frac{3}{4}$．
点评 此题考查了相似型综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，坐标与图形性质，勾股定理，平行线的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
| A． | （-3，2） | B． | （3，2） | C． | （-3，-2） | D． | （3，-2） |