Question

如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(8，6)，直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．

（1）求直线AC的解析式；

（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知： A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），设直线AC的解析式y=kx+b，将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，解得 ，故直线AC的解析式为 ；

（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax²+bx，将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax²+bx，得 ，解得 ，故经过点O、M、A的抛物线的解析式为 ；

（3）∵△AOC∽△APD，∴ ，即 ，解得PD=2.4，AD=3.2，S_△PAD：= ×PD×AD= ，∵S_△PAD：S_△QOA=8：

∴S_△QOA=12， S_△QOA= ×OA×|y_Q|= ×8×|y_Q|=12，解得|y|_Q=3，又∵点Q在抛物线上，所以 =3或 =-3，解方程得x₁=4，x₂=4+4 ，x₃=4-4 ，故Q点的坐标为、 、Q（4，3）．

所以的坐标为：、、