Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线y=-x+

3

2

与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．
（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积．

Answer 1

分析：（1）因为四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线y=-x+

3

2

与坐标轴交于D、E，M是AB的中点，所以令y=0，即可求出D的坐标，而AM=1，所以M（4，1）；
（2）因为PA=PB，所以P是AB的垂直平分线和直线ED的交点，而AB的中垂线是y=1，所以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=1，求出的x的值即为相应的P的横坐标；
（3）可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=-x+

3

2

上，所以P（x，-x+

3

2

)，根据题意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，又因N是线段HB的中点，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，利用直径对的圆周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以

HN

BM

=

PH

BN

，∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，这样就可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以SPMBH=

(BM+HP)•BH

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．

解答：解：（1）M（4，1），D（

3

2

，0）；（2分）

（2）∵PA=PB，
∴点P在线段AB的中垂线上，
∴点P的纵坐标是1，
又∵点P在y=-x+

3

2

上，
∴点P的坐标为(

1

2

，1)；（4分）

（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，
∵点P在y=-x+

3

2

上，
∴P（x，-x+

3

2

)，
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，
∴N是线段HB的中点，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，（6分）
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴

HN

BM

=

PH

BN

，
∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，
∴x²-12x+14=0，解得：x=6+

22

(x＞

3

2

舍去），x=6-

22

，（8分）SPMBH=

(BM+HP)•BH

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．  （9分）

点评：本题属于一道典型的数形结合的题目，需利用一次函数的解析式结合圆的相关知识才可以解决问题．