Question

如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8m，BC=6m，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积（S）最大？

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理易求AB的长，运用等积法求高；
（2）S=GD•GF=x•GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，从而得函数表达式，运用函数性质求解．

解答：解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，交FG于点K．
由∠C=90°AC=8，BC=6，易得AB=10．
∵S_△ABC=

1

2

AC×BC=

1

2

AB•CH，
∴h=CH=

6×8

10

=

24

5

=4.8．

（2）如图，设DE=GF=y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，由此可得

y

10

=

4.8-x

4.8

．
∴y=10-

25

12

x
∴S=xy=x(10-

25

12

x)
=-

25

12

x2+10x
=-

25

12

(x-2.4)2+12．
∵a=-

25

12

＜0，
∴当x=2.4时，S有最大值12．
答：当x取2.4m时，水池DEFG的面积（S）最大，且S=12m²．
（其它证法合理参照给分）

点评：此题的关键是用含x的式子表示矩形的长，涉及相似形的性质．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．