题目内容
如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D．动点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿B-A-D方向向终点D运动，另一动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-C-B方向向终点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点，则另一点也立即停止运动．设动点运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长；
（2）当点Q在线段AC上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）请探索：在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得直线PQ与△ABC的一边平行？若存在，请求出所有满足条件t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t=
或
或
时，点P、Q、D恰好在同一条直线上？（请直接写出答案）
（1）求线段AD的长；
（2）当点Q在线段AC上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）请探索：在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得直线PQ与△ABC的一边平行？若存在，请求出所有满足条件t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t=
| 35 |
| 12 |
475-5
| ||
| 192 |
| 35 |
| 12 |
475-5
| ||
| 192 |
分析：（1）根据勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的对应边成比例知
=
，由此可以求得线段的长度；
（2）作辅助线PM（过点P作PM⊥AC于点M）构建平行线PM∥BC，然后利用平行线截线段成比例知
=
，即PM=
（5-3t），最后由三角形的面积公式即可列出△APQ的面积S关于t的函数关系式；
（3）需要分类讨论：当PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB时，由平行线截线段成比例列出比例式，即可求得相应的t值；
（4）①当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上；②如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
| AD |
| AB |
| AC |
| BC |
（2）作辅助线PM（过点P作PM⊥AC于点M）构建平行线PM∥BC，然后利用平行线截线段成比例知
| PM |
| CB |
| AP |
| AB |
| 4 |
| 5 |
（3）需要分类讨论：当PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB时，由平行线截线段成比例列出比例式，即可求得相应的t值；
（4）①当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上；②如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
解答：
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代换），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴
=
（相似三角形的对应边成比例），即
=
，
∴AD=
；
（2）如图1，过点P作PM⊥AC于点M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴
=
（平行线截线段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=
（5-3t），
∴S=
AQ•PM=
×2t×
（5-3t）=-
t2+4t（0≤t≤
）；
（3）存在，有三种情况：
如图2，当0≤t≤
时，令PQ∥BC，得
=
，解得t=
；
如图3，当
＜t≤
时，令PQ∥AC，得
=
，解得t=
；
如图4，当
＜t＜
时，令PQ∥AB，得
=
，解得，t=
；
综上所述，当t=
或
或
时，直线PQ与△ABC的一边平行．
（4）当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上，
此时t=
=
=
．
如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
过点P作PM⊥BC于点M．则QC∥PM．
∵sin∠B=
=
，即
=
，解得PM=
；
cos∠B=
=
，即
=
，解得BM=
．
∵△ADC∽△BAC，
∴
=
，即
=
，解得CD=
，
∴DM=CD+BC-BM=
-
．
∵QC∥PM，
∴
=
（平行线分线段成比例），即
=
，解得t=
．
则t=
或
．
故答案是：
或
．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代换），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴
| AD |
| BA |
| AC |
| BC |
| AD |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
∴AD=
| 15 |
| 4 |
（2）如图1，过点P作PM⊥AC于点M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴
| PM |
| CB |
| AP |
| AB |
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=
| 4 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
（3）存在，有三种情况：
如图2，当0≤t≤
| 3 |
| 2 |
| 5-3t |
| 5 |
| 2t |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
如图3，当
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 3t |
| 5 |
| 7-2t |
| 4 |
| 35 |
| 22 |
如图4，当
| 5 |
| 3 |
| 35 |
| 22 |
| ||
|
2t-3+
| ||
|
| 46 |
| 21 |
综上所述，当t=
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 22 |
| 46 |
| 21 |
（4）当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上，
此时t=
| AB+AD |
| 3 |
5+
| ||
| 3 |
| 35 |
| 12 |
如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
过点P作PM⊥BC于点M．则QC∥PM．
∵sin∠B=
| AC |
| AB |
| PM |
| BP |
| 3 |
| 5 |
| PM |
| 3t |
| 9t |
| 5 |
cos∠B=
| BC |
| AB |
| BM |
| BP |
| 4 |
| 5 |
| BM |
| 3t |
| 12t |
| 5 |
∵△ADC∽△BAC，
∴
| AC |
| BC |
| CD |
| AC |
| 3 |
| 4 |
| CD |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
∴DM=CD+BC-BM=
| 25 |
| 4 |
| 12t |
| 5 |
∵QC∥PM，
∴
| DC |
| DM |
| QC |
| PM |
| ||||
|
| 3-2t | ||
|
475-5
| ||
| 192 |
则t=
| 35 |
| 12 |
475-5
| ||
| 192 |
故答案是：
| 35 |
| 12 |
475-5
| ||
| 192 |
点评：本题考查了相似综合题：相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例等知识点的综合运用．
练习册系列答案
寒假学与练系列答案
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