Question

如图①，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE-DF=EF；
（2）如图②，若点P在DC的延长线上，其余条件不变，则BE，DF，EF有怎样的数量关系______（不用证明）
（3）如图③，若点P在CD的延长线上，其余条件不变，画出图形，写出此时BE，DF，EF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵DF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中

∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF=BE，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF；

（2）解：DF-BE=EF，
故答案为：DF-BE=EF；

（3）BE+DF=EF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵DF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中

∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF=BE，AE=DF，
∵AF+AE=EF，
∴BE+DF=EF．
分析：（1）根据正方形性质得出AD=AB，∠DAB=90°，求出∠AFD=∠BEA=90°，∠DAF=∠ABE，根据AAS证△DAF≌△ABE，推出AF=BE，AE=DF，即可得出答案；
（2）根据AAS证△DAF≌△ABE，推出AF=BE，AE=DF，即可得出答案；
（3）根据正方形性质得出AD=AB，∠DAB=90°，求出∠AFD=∠BEA=90°，∠DAF=∠ABE，根据AAS证△DAF≌△ABE，推出AF=BE，AE=DF，即可得出答案．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是能推出△DAF≌△ABE，证明过程类似．