Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM 平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。

（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）如图，连接OM，则OM=OB， ∴∠1=∠2， ∵BM平分∠ABC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OM∥BC， ∴∠AMO=∠AEB， 在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠AMO=90°， ∴OM⊥AE， ∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， ∴BE=BC，∠ABC=∠C， ∵BC=4，cosC=， ∴BE=2，cos∠ABC=， 在△ABE中，∠AEB=90°， ∴， ∴ 设⊙O的半径为r，则AO=6-r， ∵OM∥BC， ∴△AOM∽△ABE， ∴， ∴，解得， ∴⊙O的半径为。