Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求k值和这个等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据△=（2k+1）²-16（k-$\frac{1}{2}$）=4（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，即可作出判断；
（2）分4为等腰三角形的腰长及4为等腰三角形底边长两种情况，分别求解可得．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-16（k-$\frac{1}{2}$）=4（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴当k=$\frac{3}{2}$时，方程有两个相等实数根；
当k≠$\frac{3}{2}$时，方程有两个不相等实数根．

（2）若4为等腰三角形的腰长时，则方程的一个根为4，
将x=4代入方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，解得：k=$\frac{5}{2}$，
∴该一元二次方程为x²-6x+8=0，
解得x=2或x=4，
∴此时等腰三角形的周长为2+4+4=10；
若4为等腰三角形底边长时，则方程有两个相等实数根，
∴k=$\frac{3}{2}$，
∴该一元二次方程为x²-4x+4=0，
解得：x=2，
∴此时等腰三角形的三边长度为2、2、4，不能构成三角形．

点评 本题主要考查根的判别式及三角形三边间的关系和等腰三角形的性质，根据等腰三角形的一边为4得出三角形的解的情况是解题的关键．