题目内容
（2012•海淀区一模）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．
分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=
，又知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(-
，
)，即可求出b和c的关系，进而得到A（0，
b2），P（-
b，
b2），D（-
b，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
b2，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=
| c |
| 2 |
| b |
| 2 |
| 4c-b2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）依题意，-
=1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．
（2）∵抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
MN•|xB-xA|=3．
∴
[x+3-(x2-2x+3)]×3=3．
解得 x1=1，x2=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．
（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=
．
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(-
，
)，
∴
=
．
∴b2=2c．
∴抛物线y=x2+bx+
b2，A（0，
b2），P（-
b，
b2），D（-
b，0）．
可得直线OP的解析式为y=-
bx．
∵点B是抛物线y=x2+bx+
b2与直线y=-
bx的图象的交点，
令 -
bx=x2+bx+
b2．
解得x1=-b，x2=-
．
可得点B的坐标为（-b，
b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
b2．
将点D（-
b，0）的坐标代入y=x2+mx+
b2，得m=
b．
则平移后的抛物线解析式为y=x2+
bx+
b2．
令y=0，即x2+
bx+
b2=0．
解得x1=-b，x2=-
b．
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=
b2．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
| b |
| 2×1 |
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．
（2）∵抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
解得 x1=1，x2=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．
（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=
| c |
| 2 |
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(-
| b |
| 2 |
| 4c-b2 |
| 4 |
∴
| 4c-b2 |
| 4 |
| c |
| 2 |
∴b2=2c．
∴抛物线y=x2+bx+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
可得直线OP的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
∵点B是抛物线y=x2+bx+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令 -
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得x1=-b，x2=-
| b |
| 2 |
可得点B的坐标为（-b，
| 1 |
| 2 |
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
| 1 |
| 2 |
将点D（-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
则平移后的抛物线解析式为y=x2+
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令y=0，即x2+
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得x1=-b，x2=-
| 1 |
| 2 |
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=
| 1 |
| 2 |
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题设计抛物线解析式得求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．
练习册系列答案
七彩题卡口算应用一点通系列答案
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