Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合），点F在射线DC上．
（1）若AF=AE，并设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当CE的长度为何值时，△AEF和△ECF相似？
（3）若CE=

1

4

，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由已知可得，AB=BC=CD=AD=1，CE=x，由图形得出y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，便可求出x与y的关系式．
（2）当△AEF和△ECF相似时，有两种情况：
①∠AEF=90°，△AEF∽△ECF；②∠AFE=90°，△AEF∽△FCE；
以①为例，若∠AEF=90°，可得到两组相似三角形：△AEF∽△ECF、△ECF∽△ABE，根据两个相似三角形所得比例线段，即可证得CE=BE（以

EF

CF

为中间量），由此可求得CE的长；
②的思路与①相同．
（3）此题应分作两种情况考虑：
一、当F在线段DC上时，可分两种情况：
①AE=EG，根据等腰三角形三线合一的性质知：AB=BG=1，易证得△FCE∽△BEG，根据CE的长，易得CE：BE=1：3，即BG=3CF，由此可求出CF的长；
②AE=AG，由于BE=

3

4

，AB=1，由勾股定理可求得AE=AG=

5

4

，即BG=

1

4

，然后按照①的方法即可求得CF的长；
二、当F在线段DC的延长线上时，可分两种情况：
①EG=AG，由①知BG=3CF，那么EG=AG=AB-BG=1-3CF，可用CF表示出BG、EG的长，然后在Rt△BGE中，利用勾股定理求出CF的值；
②AE=AG，方法与②相同，将①题的“AB=BG=1”换成“BG=AB+AG=1+

5

4

”即可．

解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴y=12-

1

2

•1•(1-x)-

1

2

•1•(1-x)-

1

2

x2，
∴y=-

1

2

x2+x（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴

AE

EC

=

EF

CF

，

EF

CF

=

AE

BE

，
∴

AE

EC

=

AE

BE

，∴CE=BE=

1

2

；（3分）
②当∠AFE=90°，同理可得CF=FD=

1

2

，
∵

CE

CF

=

FD

AD

，∴CE=

1

4

．（2分）

（3）①当AE=GE时，得：AB=BG=1，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，CE=

1

4

，
∴

CF

1

=

1

3

，∴CF=

1

3

；（1分）
②当AE=AG时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 -1

=

1

3

，∴CF=

1

12

；（1分）
③当AG=EG时，∵CE=

1

4

，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴(1-3CF)2=(

3

4

)2+(3CF)2，∴CF=

7

96

；（1分）
④当AG=AE时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 +1

=

1

3

，
∴CF=

3

4

．（1分）

点评：此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定，难点在于需要分类讨论的情况较多，易造成漏解的状况．