Question

如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（3，0）（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
①求抛物线的解析式；
②求当AD+CD最小时点D的坐标，并求出AD+CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求函数解析式；
（2）AD+BC的最小值就是线段BC的长，据此即可求解．

解答：解：（1）设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c．
根据题意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

则抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3；

（2）抛物线的对称轴是：x=1
则A关于x=1的对称点坐标是B．
∵B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵点D在直线x=1上，
∴点D的坐标为（1，2）．
则BC=

32+32

=3

2

即AD+CD的最小值是3

2

．

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及轴对称的性质的应用，正确理解AD+BC最小的条件是解题的关键．