题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象分别与反比例函数y= $数学公式$ （k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（-5，-2）．
（1）求m的值；
（2）在反比例函数图象上是否存在一点E，使得△OCE的面积是△OCB的面积的2倍？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把B（-5，-2）代入y= $\text{[math]}$ 得k=-5×（-2）=10，
∴反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，
把A（2，m）代入y= $\text{[math]}$ 得2m=10，
解得m=5；

（2）存在．
把A（2，5）、B（-5，-2）代入y=ax+b得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数解析式为y=x+1，
∴C点坐标为（-1，0），
∴S_△OCB= $\text{[math]}$ ×1×2=1，
设E点坐标为（x，y），
∴ $\text{[math]}$ ×1×|y|=2×1，
∴y=±4，
当y=4时，4= $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ ；
当y=-4时，-4= $\text{[math]}$ ，解得x=- $\text{[math]}$ ；
∴E点坐标为（ $\text{[math]}$ ，4）和（- $\text{[math]}$ ，-4）．
分析：（1）先利用待定系数法确定反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，然后把A（2，m）代入y= $\text{[math]}$ 即可得到m的值；
（2）先利用待定系数法确定一次函数的解析式y=x+1，则可得到C点坐标为（-1，0），原式可计算出S_△OCB=1，设E点坐标为（x，y），根据题意有 $\text{[math]}$ ×1×|y|=2×1，解得y=±4，然后分别代入反比例解析式求出对应的自变量的值，这样就得到满足条件的E点坐标．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．