题目内容
如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=
．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形？
【答案】分析：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，在△ABE中，由等腰梯形性质得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示线段PQ；
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面积了；
（3）△CMQ为等腰三角形，有三种可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，针对每一种情况，根据图形特征，线段长度，运用勾股定理解答．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图，
由AD=2，BC=4，AB=CD=
，得
AE=2．（1分）
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴
．即
．
∴
．（2分）
（2）∵点M以每秒2个单位长运动，
∴BM=2t，CM=4-2t．（3分）
∴S△CMQ=
=
．
即S=
．（4分）
（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t=
．（5分）
②若CQ=CM，
∵CQ2=CP2+PQ2=
，
∴CQ=
．
∵CM=4-2t，
∴
=4-2t．
∴
．（6分）
③若MQ=MC，
∵MQ2=MP2+PQ2=
，
∴
=（4-2t）2，即
．
解得t=
或t=-1（舍去）．
∴t=
．（7分）
∴当t的值为
，
，
时，
△CMQ为等腰三角形．
点评：本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质，勾股定理的运用，分类讨论的数学思想，有较强的综合性．
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面积了；
（3）△CMQ为等腰三角形，有三种可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，针对每一种情况，根据图形特征，线段长度，运用勾股定理解答．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图，由AD=2，BC=4，AB=CD=
，得AE=2．（1分）
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴
．即
．∴
．（2分）（2）∵点M以每秒2个单位长运动，
∴BM=2t，CM=4-2t．（3分）
∴S△CMQ=
=
．即S=
．（4分）（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t=
．（5分）②若CQ=CM，
∵CQ2=CP2+PQ2=
，∴CQ=
．∵CM=4-2t，
∴
=4-2t．∴
．（6分）③若MQ=MC，
∵MQ2=MP2+PQ2=
，∴
=（4-2t）2，即
．解得t=
或t=-1（舍去）．∴t=
．（7分）∴当t的值为
，
，
时，△CMQ为等腰三角形．
点评：本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质，勾股定理的运用，分类讨论的数学思想，有较强的综合性．
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