Question

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴AC= = =8，

∵CQ= t，

∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）．

（2）解：①当PQ∥BC时， = ，

∴ = ，

∴t= s．

②当PQ∥AB时， = ，

∴ = ，

∴t=3，

综上所述，t= s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．

（3）解：①如图1中，a、当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t．

b、如图2中，当 ＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．

S=S四边形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣ （8﹣ t）] [5t﹣ （8﹣ t）]= ．

c、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．

S=S四边形PBQF﹣S△FNM= t[6﹣3（t﹣2）]﹣ [ t﹣4（t﹣2）] [ t﹣4（t﹣2）]=﹣ t2+32t﹣24．

②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

则有（4﹣4t）：（4﹣ t）=1：2，解得t= s，

b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，

∴（4t﹣4）：（4﹣ t）=1：3，

解得t= s，

综上所述，当t= s或 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

【解析】（1）由线段之差可表示出AQ=8﹣ t;（2）由于点Q在AC上，PQ不会与AC平行，因此分类讨论PQ∥BC与PQ∥AB两类；（2）以t=2和为分界点分为三段：0≤t≤ 、 ＜t≤2、2＜t≤3；（3）需分类为两种：左上：右下=1：2和左上：右下=2：1.
【考点精析】关于本题考查的函数关系式，需要了解用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式才能得出正确答案．