题目内容

如图所示，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，⊙E过点O．与x轴、y轴分别交于B、A两点，点E坐标为（-2，2 $数学公式$ ）F为弧A0的中点．点B，D关于F点成中心对称．　
（1）求点c的坐标；
（2）点P从B点开始在折线段B-A-D上运动：点Q从B点开始在射线B0上运动，两点的运动速度均为2个长度单位每秒，设运动时间为t．△POQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若y= $数学公式$ S_ABCD，求直线PQ与⊙E相交所得的弦长．

（1）解：过E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，连接OE，
由勾股定理得：OE=4=AE=BE，
∴AB=8，∠BAO=30°，∠ABO=60°，OB=4，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°=∠BFC，
∵F为弧OA的中点，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中
$\text{[math]}$ ，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，∠ACB=∠ABC=60°，BC=AB=8，
∴OC=4，
∴C的坐标是（4，0）
（2）当Q在BO上时，P在AB上，

y= $\text{[math]}$ ×OQ×H_OQ= $\text{[math]}$ （4-2t）• $\text{[math]}$ t=- $\text{[math]}$ t²+2 $\text{[math]}$ t（0＜t＜2）；
当Q在OC上时，P在AB上，

同法可求y= $\text{[math]}$ OQ×H_OQ= $\text{[math]}$ ×（2t-4）× $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t²-2 $\text{[math]}$ t（2＜t≤4）；
当Q在OC的延长线上时，

y= $\text{[math]}$ OQ×AO= $\text{[math]}$ ×（2t-4）×4 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ t-8 $\text{[math]}$ （4＜t≤8）；
（3）S_{平行四边形ABCD}=8×4 $\text{[math]}$ =32 $\text{[math]}$ ，
①- $\text{[math]}$ t²+2 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ×32 $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$ t²-2 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ ×32 $\text{[math]}$ ，
方程的解不在2＜t≤4内，
③4 $\text{[math]}$ t-8 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×32 $\text{[math]}$ ，
方程的解不在4＜t≤8内，过E作EK⊥弦MN于K，

∴当t= $\text{[math]}$ 时，EP=4- $\text{[math]}$ ×2=3，∠EPM=60°，
PK= $\text{[math]}$ ，EK= $\text{[math]}$ ，
连接ME，由勾股定理得：MK= $\text{[math]}$ ，
弦MN=2MK= $\text{[math]}$ ；
当t= $\text{[math]}$ 时，
同法可求弦长是 $\text{[math]}$ ；
分析：（1）过E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，连接OE，根据圆周角定理求出∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFB=90°，根据ASA证△ABF≌△CBF，求出AB=BC即可；
（2）分为三种情况：当Q在BO上时，P在AB上，当Q在OC的延长线上时，当Q在OC的延长线上时，根据三角形面积公式求出即可；
（3）求出平行四边形的面积，根据已知得出三个方程，求出方程的解，注意看是否在范围内，过E作EK⊥弦MN于K，求出EK、根据勾股定理求出MK即可；
点评：本题综合考查了圆周角定理、勾股定理、三角形的面积、点的坐标、全等三角形的性质和判定，垂径定理等知识点，此题是一道难度较大的题目，综合性比较强，对学生提出了较高的要求，分类讨论思想的运用．