题目内容

计算
n+2+
n2-4
n+2-
n2-4
+
n+2-
n2-4
n+2+
n2-4
．
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
解答：解：设a=n+2+
n2-4
，b=n+2-
n2-4
，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2），
∴原式=
a
b
+
b
a
，
=
a2+b2
ab
，
=
(a+b)2-2ab
ab
，
=
(a+b)2
ab
-2，
=
4(n+2)2
4(n+2)
-2，
=n．
点评：本题考查二次根式的加减运算，难度比较大，注意换元法的运用．
练习册系列答案
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计算：12+22+32+…+n2=
16
n(n+1)•(2n+1)，按以上式子，那么22+42+62+…+502=
 
．
（2013•十堰模拟）阅读下列材料后回答问题：
读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
100
n=1
n，这里“∑ ”是求和符号，例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
50
n=1
(2n-1)．
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
①2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为
50
n=1
2n
50
n=1
2n
；
②计算
50
n=1
(n2-1)：
12+22+32+…+502-50
12+22+32+…+502-50
=
42875
42875
．（填写最后的计算结果）．
（2012•聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．

观察计算：（1）在方案一中，d1=
a+2
a+2
km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=
a2+24
a2+24
km（用含a的式子表示）．
探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1
＜
＜
d2（填“＞”、“=”或“＜”）；
②当a=6时，比较大小：d1
＞
＞
d2（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：
∵m2-n2=（m+n）（m-n），m+n＞0，
∴（m2-n2）与（m-n）的符号相同．
当m2-n2＞0时，m-n＞0，即m＞n；
当m2-n2=0时，m-n=0，即m=n；
当m2-n2＜0时，m-n＜0，即m＜n．
阅读与探究：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为
100
n=1
n，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为
50
n=1
(2n-1)，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为
10
n=1
n3．
（1）把
6
n=1
n2写成加法的形式是
12+22+32+42+52+62
12+22+32+42+52+62
；
（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为
50
n=1
2n
50
n=1
2n
；
（3）计算
5
n=1
(n2-1)．

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