Question

对非负实数x，“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，则＜x＞=n．
试解决下列问题：
（1）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（2）求满足＜x＞=

4

3

x的所有非负实数x的值；
（3）设n为常数，且为正整数，函数y=x2-x+

1

4

的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜

k

＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer 1

分析：（1）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（2）

4

3

x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-

1

2

和k+

1

2

之间，包括kx-

1

2

，不包括k+

1

2

，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
（3）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得

k

的整数个数为2n，由此得证．

解答：解：（1）①证明：设＜x＞=n，则n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，n为非负整数；
∴(n+m)-

1

2

≤x+m＜(n+m)+

1

2

，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（2）∵x≥0，

4

3

x为整数，设

4

3

x=k，k为整数，
则x=

3

4

k
∴＜

3

4

k＞=k
∴k-

1

2

≤

3

4

k＜k+

1

2

，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，

3

4

，

3

2

．

（3）∵函数y=x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴(n-

1

2

)2≤y＜(n+1-

1

2

)2，即(n-

1

2

)2≤y＜(n+

1

2

)2，①
∴n2-n+

1

4

≤y＜n2+n+

1

4

，∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜

k

＞=n，
则n-

1

2

≤

k

＜n+

1

2

，
∴(n-

1

2

)2≤k＜(n+

1

2

)2，③
比较①，②，③得：a=b=2n．

点评：本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，则＜x＞=n．