Question

【题目】如图，已知二次函数的图像与坐标轴交于点和点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图像的对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）或或或．

【解析】

（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；

（2）先求解抛物线与轴的另一个交点的坐标，由两点关于关于对称轴对称，连接交对称轴与点，则的周长最短，再求解的解析式即可得到答案；

（3）先求解的长度，分别以为圆心，为半径画弧，得到与轴的交点符合题意，作的垂直平分线与轴的交点也符合题意，从而可得答案．

解：（1）根据题意，把点和点代入函数解析式．得

，

解得，

∴二次函数的表达式为；

（2）令，得二次函数的图象与轴的另一个交点坐标；

由于是对称轴上一点，

连接，由于，

要使的周长最小，只要最小；

由于点与点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，

则，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为；

因而与对称轴的交点就是所求的点；

设直线的解析式为，

根据题意可得解得

所以直线的解析式为；

因此直线与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得，

所求的点的坐标为；

（3）

以为圆心，为半径画弧，交轴于

以为圆心，为半径，交轴于

由等腰三角形的三线合一得到：

作的垂直平分线交轴于

设

由

综上：或或或.