Question

【题目】如图，点为等边三角形内一点，且，则的最小值为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，结合等边三角形ABC可证△ACE≌△BCD，进而可证得∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，过点A作AF⊥BE于点F，利用三角函数还可求得，再根据AD与AF的大小关系可得即，进而求得答案．

解：如图，以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，

∵△CDE和△ABC为等边三角形，

∴CD＝CE，AC＝BC，∠DCE＝∠ACB＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠BDC＋∠CDE＝180°，

∴点B、D、E在同一直线上，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，

即∠ACE＝∠BCD，

在△ACE与△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC＝120°，

∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，

过点A作AF⊥BE于点F，

在Rt△AFE中，sin∠AEF＝，

则sin60°＝，

当点D不与点F重合时，AD＞AF，

则，

当点D与点F重合时，AD＝AF，

则，

∴，

∴，

∴的最小值为，

故答案为：．