题目内容
如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．
（1）设点Q的运动速度为
cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）①t="6" ②t=－6＋2
（2）①a=
解析试题分析：（1）①S△DPQ=S矩形ABCD－S△DAP－S△PBQ－S△QCD
=60－×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)
=
t2－3t＋30
=(t－6)2＋21．
∵0≤t≤10，∴当t="6" s时，S△DPQ的最小值为21 cm2．
②当△DAP∽△QBP相似时，有
．
即
，解得t1=－6＋2，t2=－6－2（舍去）．
∴t=－6＋2时，△DAP∽△QBP．
（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，
则AP=t，AQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1＝∠3＝∠4时，有
．
∴
，解得t1=2，t2=18（舍去）．
此时a=．
②当∠1＝∠3＝∠5时，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1＝∠2＝∠4时，有
．
∴
，即有
整理，得5t2－36＋180=0，△＜0，方程无实数解．
∴不存在这样的a值．
④当∠1＝∠2＝∠5时，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=
考点：几何图形与代数相结合，相似三角形
点评：该题分析时较为复杂，以图形的边长为路程，分析时间的变动，以及角的变化，是常考题。
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，则△ABM的面积为
如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（ ）A、a≥
| ||
| B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
| D、a≥2b |
7、如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE，则∠CAE=
（2008•怀柔区二模）已知如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE=ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．则PF+PG的长为
（2002•西藏）已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB边上两点，且AF=BE，连结DE、CF得到梯形EFCD．