Question

【题目】如图，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2交y轴于点M，且l1与l2之间的距离为3，点C（x，y）是直线11上的一个动点，过点C作AB的垂线CD交y轴于点D．

（1）求直线l2的解析式；

（2）当C运动到什么位置时，△AOD的面积为21，求出此时点C的坐标；

（3）连接AM，将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M'，在平面内是否存在一点N．使四边形AMA'N为矩形？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6+2；（2）C（﹣，）；（3）存在，N点在x轴上方时N坐标：（﹣6﹣8，6）,N点在x轴下方时N点坐标：（6﹣4，﹣6）.

【解析】

（1）如图1中，作BH⊥直线l2于H．解直角三角形求出点M坐标即可解决问题;

（2）如图2中，连接AD，设D（0，m）．利用三角形的面积公式构建方程求出m，再求出直线CD的解析式，利用方程组即可解决问题;

（3）如图3中，分两种情形构造全等三角形解决问题即可．

解：（1）如图1中，作BH⊥直线l2于H．

∵直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，

∴B（0，6），A（﹣6，0），

∴OB＝6，OA＝6，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝60°，

∵BH⊥l2，l1∥l2，

∴BH⊥l1，

∴∠ABH＝90°，

∴∠HBM＝30°，

∵BH＝3，

∴BM＝＝2，

∴M（0，6+2），

∴直线l2的解析式为y＝x+6+2．

（2）如图2中，连接AD，设D（0，m）．

由题意：，

∴××|m|＝，

∴m＝±7，

∴D（0，7）或（0，﹣7），

当D（0，7）时，∵DC⊥AB，

∴直线CD的解析式为y＝﹣x+7，

由，解得，

∴C（，）．

当D（0，﹣7）时，直线CD的解析式为y＝﹣x﹣7，

由，解得，

∴C（﹣，）．

（3）存在, 存在，N点在x轴上方时N坐标：（﹣6﹣8，6）,N点在x轴下方时N点坐标：（6﹣4，﹣6），原因如下：

情况一：当N点在x轴上方时, 如下图，作NH⊥x轴，垂足为点H：

∵四边形AMA′N是矩形，MA＝MA′，

∴四边形AMA′N是正方形，

∴AN＝AM，

∵∠AHN＝∠MAN＝∠AOM＝90°，

∴∠HAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，

∴∠HAM＝∠AMO，

∴△AHN≌△MOA（AAS），

∴NH＝OA＝6，AH＝OM＝6+2，

∴OH＝6+8，

∴N（﹣6﹣8，6），

情况二：当点N′在x轴下方时，作N′H′⊥x轴，垂足为点H′：

∵四边形AMA′′N′是矩形，MA＝MA′′，

∴四边形AMA′′N′是正方形，

∴AN′＝AM，

∵∠AH′N′＝∠MAN′＝∠AOM＝90°，

∴∠H′AN′+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，

∴∠H′AN′＝∠AMO，

∴△AH′N′≌△MOA（AAS），

∴N′H′＝OA＝6，AH′＝OM＝6+2，

∴OH＝AH′-OA=6-4，

∴N′（6﹣4，﹣6）．

综上所述，存在，N点在x轴上方时N坐标：（﹣6﹣8，6）,N点在x轴下方时N点坐标：（6﹣4，﹣6）.