Question

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD²+CE²=DE²．
（4）在旋转过程中,（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABE与△DCA会相似，
理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA  
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA；
（2）∵△ABE∽△DCA，
∴
由题意可知CA=BA=
∴，
∴m=（1＜n＜2）；
（3）当BE=CD，即m=n时，
由m=，得m=n=
∴DE=BE+CD﹣BC=2﹣2，
∵BD=BE﹣DE=2﹣=CE，
∴BD²+CE²=2BD²=2（2﹣）²=12﹣8，
DE²=（2﹣2）²=12﹣8
∴BD²+CE²=DE² ；
（4）成立证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，
则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH﹣∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD  
∴DH=DE
又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD²+HB²=DH²，即BD²+CE²=DE²．