Question

18．关于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，
（1）a为何值时，方程的一根为0？
（2）a为何值时，两实根互为相反数？
（3）请问：是否存在实数a，使得方程两实根互为倒数？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把x=0代入方程，求出a的值即可；
（2）设方程的两个根分别为x₁，x₂，再根据两实根互为相反数求出a的值即可；
（3）设方程的两个根分别为x₁，x₂，假设存在实数a，使得方程两实根互为倒数，则x₁•x₂=1，求出a的值即可．

解答 解：（1）当x=0时，原方程可化为-a+1=0，解得a=1；

（2）设方程的两个根分别为x₁，x₂，
∵两实根互为相反数，
∴$\frac{{a}^{2}-4}{2}$=0，解得：a=±2；
把a=2代入原方程得，2x²-1=0，x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
把a=-2代入原方程得，2x²+3=0，x²=-$\frac{3}{2}$，无解．
∴当a=2时，原方程的两根互为相反数；

（3）假设存在实数a，使得方程两实根互为倒数，
设方程的两个根分别为x₁，x₂，
∵方程两实根互为倒数，
∴x₁•x₂=1，即$\frac{1-a}{2}$=1，解得a=-1，

点评 本题考查的是根与系数的关系，熟知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解答此题的关键．