Question

【题目】如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P．

(1)求点P的坐标．

(2)请判断△OPA的形状并说明理由．

(3)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△POA是等边三角形，理由见解析；（3）当0＜t≤4时，，当4＜t＜8时，

【解析】

（1）将两直线的解析式联立组成方程组，解得x、y的值即为两直线的交点坐标的横纵坐标；

（2）求得直线AP与x轴的交点坐标（4，0），利用OP=4PA=4得到OA=OP=PA从而判定△POA是等边三角形；

（3）分别求得OF和EF的值，利用三角形的面积计算方法表示出三角形的面积即可．

解：（1）解方程组，

解得：．

∴点P的坐标为：；

（2）当y=0时，x=4，

∴点A的坐标为（4，0）．

∵，

∴OA=OP=PA，

∴△POA是等边三角形；

（3）①当0＜t≤4时，如图，在Rt△EOF中，

∵∠EOF=60°，OE=t，

∴EF=，OF=，

∴．

当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，

∵CE=PE=t-4，AE=8-t，

∴AF=4-，EF=，

∴OF=OA-AF=4-（4-）=，

∴

=；

综合上述，可得：当0＜t≤4时，；当4＜t＜8时，.