Question

【题目】如图，为中的一条射线，点在边上，于，交于点，交于点，于点，交于点，连接交于点．

求证：四边形为矩形；

若，试探究与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），理由详见解析.

【解析】

（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得PH∥MD，再根据平行于同一直线的两直线平行可得PM∥QR，然后求出四边形PQRM是平行四边形，再求出∠MPQ=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；

（2）根据矩形的对角线互相平分可得PS=PR，然后求出OP=PS，根据等边对等角的性质可得∠POS=∠PSO，再根据两直线平行，同位角相等可得∠SQR=∠BON，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PSO=2∠SQR，然后整理即可得解．

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴四边形为矩形；

．理由如下：

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

即．