Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，、两点间的距离为，抛物线的对称轴为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，对称轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线上一点，点不与点重合． 当时，过点分别作轴的垂线和平行线，与轴交于点、与对称轴交于点，得到矩形，求矩形周长的最大值；

Answer 1

【答案】(1) ，(2) 存在，,； (3)

【解析】

(1)根据抛物线的对称轴方程以及A、B的距离得到、两点的坐标，再根据很熟的开口方向即可得到函数的解析式；

(2) 根据中，以及，得到则的垂直平分线与对称轴的交点即为点，求解即可得到P点坐标；

(3)分情况①时，以及②讨论，根据分别计算，利用二次函数的性质即可得到答案；

解：(1) ∵抛物线与轴交于点、两点，且 、两点间的距离为，抛物线的对称轴为，

∴，，

又∵函数开口向下，

∴抛物线的解析式；；

(2)中，，

∵，

∴

则如图：

则的垂直平分线与对称轴的交点即为点，

又∵对称轴的方程为： ，

∴P点到x轴的距离也是3，即PD=3，

又∵P在第二象限，

∴,；

(3)设

①时，

即：

当时，；

②时，

当时， ；