Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣3，0)，B(﹣1，0)两点，抛物线的顶点为M，直线y＝﹣4x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过Q(0，3)作不平行于x轴的直线l

①如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，直线l交抛物线于点E、F，在y轴上存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，求点P的坐标；

②直线l交△CMD的边CM、CD于点G、H(G点不与M点重合、H点不与D点重合)．S四边形MDHG，S△CGH分别表示四边形MDHG和△CGH的面积，试探究的最大值．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；(2)①点P坐标为(0，﹣3)；②当x＝时， 有最大值，最大值为．

【解析】

（1）将A（3，0），B（1，0）代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；

（2）①分别写出抛物线平移后的解析式和直线EF的解析式，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足分别为G，H．由内心的性质得角等，再利用相似三角形的性质可解；

②连接OG，由点C和点Q的坐标，得CQ等于2OQ，由点M和点D坐标，得MO等于OD，分别用三角形GQO的面积表示出三角形CGQ和三角形CGO的面积，

再设CG＝1，MG＝x，用含x的式子表示出相关三角形和四边形MDHG的面积，最后将要求的比值转化为关于x的二次函数，从而可解．

(1)∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣3，0)，B(﹣1，0)两点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3．

(2)①将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y＝x2，

由EF过点(0，3)，故设其解析式为y＝kx+3(k≠0)．

设满足条件地点P坐标为(0，t)，

如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足分别为G，H．

∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP＝∠EPQ＝∠QPF＝∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴，

∴，

∴2xF＝(t﹣3)(xE+xF)，

由y＝x2，y＝﹣kx+3得x2﹣kx﹣3＝0，

∴xE+xF＝k，xExF＝﹣3，

∴2k(﹣3)＝(t﹣3)k

∵k≠0，∴t＝﹣3，

∴点P坐标为(0，﹣3)．

②如图，连接OG，

∵C(0，9)Q(0，3)，

∴CQ＝2OQ，

又∵M(﹣2，﹣1)，D(2，1)，

∴MO＝OD．

设S△GQO＝S，

∴S△CGQ＝2S，S△CGO＝3S．

不妨设CG＝1，MG＝x，则S△MGO＝3xS，

∴S△CMO＝S△CQO+S△MGO＝3S+3xS＝(3x+3)S，

∴S△CMD＝2S△CMO＝(6x+6)S，

设QH＝kQG，由S△CGQ＝2S，得S△CQH＝2kS，

∴S△CGH＝(2k+2)S．

∴S四边形MDHG＝(6x+6)S﹣(2k+2)S＝(6x﹣2k+4)S，

∴＝，①

过点Q作QK∥MD，交CD于点K，过点G作GN∥MD，交CD于点N，则QK∥GN．

∴，

∴QK＝OD＝MD；

∵GN∥MD，

∴，

∴，

∴．

∵QK∥GN，

∴，

∴，

∴k＝，

代入①式得：＝＝＝﹣x2+x+1＝，

∴当x＝时， 有最大值，最大值为．