Question

【题目】在平面直角坐际系xOy中，当m，n满足mn=k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．
（1）若k=4，求函数y=x﹣4的图象上满足条件的，“等积点”坐标；
（2）若直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为k2+ k﹣ ，求EF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设“等积点”坐标为（m，n），则有 解得 或 （舍弃），

∴“等积点”坐标为（2 +2，2 ﹣2）

（2）

解：如图，由题意“等积点”在反比例函数y= 图象上，

∵直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，

∴“等积点”M的坐标为（ ， ），B（0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（ ，2 ），

∵△OEF的面积=S正方形AOBC﹣2S△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，

∴k2+ k﹣ =4k﹣k﹣ k，

解得k=1或﹣ （舍弃），

∴E（2， ），F（ ，2），

∴EF= =

【解析】（1）设“等积点”坐标为（m，n），则有 解方程组即可．（2）如图，由题意“等积点”在反比例函数y= 图象上，直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，所以“等积点”M的坐标为（ ， ），B（0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（ ，2 ），根据△OEF的面积=S正方形AOBC﹣2S△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，列出方程即可解决问题．
【考点精析】掌握一次函数的性质和一次函数的概念是解答本题的根本，需要知道一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k不等于0），那么y叫做x的一次函数．