Question

(2006重庆课改，25)问题背景　　某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；

图1

②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．

图2

然后运用类比的思想提出了如下命题：

③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．

图3

任务要求

(1)请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；(说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分)

(2)请你继续完成下面的探索：

①如图4，在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？(不要求证明)

图4

②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

图5

(1)我选________．

证明：

Answer 1

答案：略
解析：

(1)选命题① 证明：在图1中，∵∠BON=60°，∴∠1＋∠2=60°．(1分) ∵∠3＋∠2=60°，∴∠1=∠3．(2分) 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°，∴△BCM≌△CAN．(3分) ∴BM=CN．(4分) 图1 选命题②． 证明：在图2中，∵∠BON=90°，∴∠1＋∠2=90°．∵∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．(1分) 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°，∴△BCM≌△CDN．(2分) ∴BM=CN．(3分) 图2 选命题③． ∴证明：在图3中，∵∠BON=108°，∴∠1＋∠2=108°．(1分) ∵∠2＋∠3=108°，∴∠1=∠3．(2分) 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．(3分) ∴△BCM≌ΔCDN．(4分) ∴BM=CN．(5分) 图3 (2)①当∠BON=时，结论BM=CN成立．(2分) ②BM=CN成立． 证明：如图4，连结BD、CE． 在ΔBCD和△CDE中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∴△BCD≌△CDE． ∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．(1分) ∵∠CDE=∠DEA=108°，∴∠BDM=∠CEN．∵∠OBC＋∠OCB=108°，∠OCB＋∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD．又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN．(2分) ∴ΔBDM≌ΔCEN．∴BM=CN．(3分) 图4 说明：第(2)小题第②问只回答BM=CN成立，但未证明的，不给分．