Question

19、如图，已知BC是半圆O的直径，AB=AF，AC与BF交于点M，AD⊥BC于D，交BF于E，求证BE=EM．

Answer 1

分析：此题可以借助中间线段AE，分别证明AE=BE，AE=ME．首先根据等弦对等弧，得到弧AB=弧AF．再根据直径所对的圆周角是直角和等角的余角相等，证明∠BAE=∠C．再根据等弧所对的圆周角相等，得到∠ABE=∠C．从而证明∠ABE=∠BAE，再根据等角的余角相等得到∠EAM=∠AME．

解答：证明：∵弧AB=弧AF，
∴∠ACB=∠ABF．
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°．
又AD⊥BC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠ACB+∠DAC=90°．
∴∠BAD=∠ACB．
∴∠BAD=∠ABF．
∴AE=BE．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠ABF+∠AMB=90°．
∴∠DAC=∠AMB．
∴EM=EA．
∴BE=EM．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、等弧对等弦、等角的余角相等以及等角对对边的性质．