Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax²+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

解答：解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx得

16a+4b=8 64a+8b=0

，
解得a=-

1

2

，b=4．
故抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=

PE

AP

=

BC

AB

，即

PE

AP

=

4

8

．
∴PE=

1

2

AP=

1

2

t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+

1

2

t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：-

1

2

（4+

1

2

t）²+4（4+

1

2

t）=-

1

8

t²+8．
∴EG=-

1

8

t²+8-（8-t）=-

1

8

t²+t．
∵-

1

8

＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=

40

13

或t=

104

13

=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC=CQ时，
因为E（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16

5

，t=40+16

5

＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+

1

2

t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（

1

2

t-4）²+（8-2t）²=（4+

1

2

t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=

16

3

．
于是t₁=

16

3

，t₂=

40

13

，t₃=40-16

5

．

点评：抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．