如图.在△ABC中.∠ACB=90°.AC=6cm.BC=8cm.动点P从点C出发.按C→B→A的路径.以2cm每秒的速度运动.设运动时间为t秒．(1)当t=2时.求△ACP的面积,(2)王老师提出一个问题:“当t为何值时.线段AP是∠CAB的平分线? 聪明的小亮通过探索.得到如下思路:第一步:连结AP.若AP平分∠CAB.则点P在CB边上．过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=2时，求△ACP的面积；
（2）王老师提出一个问题：“当t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？”聪明的小亮通过探索，得到如下思路：第一步：连结AP，若AP平分∠CAB，则点P在CB边上．过点P作PD⊥AB，垂足为D，则△ACP≌△ADP，这时可求得AD，DB的长；第二步：在△PDB中，根据勾股定理，建立关于t的方程，通过解方程可求出t的值．请你根据小亮的思路，在备用图1中补全图形，并求出t的值；
（3）请你利用备用图2来继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？（直接写出结论）

分析（1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后根据面积公式即可得到结果；
（2）如图1，由勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根据已知条件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm，BD=AB-AD=4cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）①如图2，若P在边BC上时，AC=CP=6cm，此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：（i）若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，P运动的路程为8+4=12cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）若CP=AC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，则用的时间为5.4s，ACP为等腰三角形；ⅲ）若AP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为8+5=13cm，则所用的时间为6.5s，△ACP为等腰三角形．

解答解：（1）∵AC=6cm，PC=2×2=4cm，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•PC=$\frac{1}{2}×6×4$=12cm²；

（2）如图1，∵∠C=90°，

∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
根据题意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6cm，BD=AB-AD=4cm，
PD=PC=2t，
∴PB=8-2t，
在R_t△PDB中，PD²+BD²=PB²，
∴（2t）²+4²=（8-2t）²，
解得：t=1.5；

（3）①如图2，若P在边BC上时，AC=CP=6cm，

此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
（i）如图3，

若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，P运动的路程为8+4=12cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，

若CP=AC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD=3.6，
所以AP=2PD=7.2cm，
所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
则用的时间为5.4s，△ACP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，

若AP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为8+5=13cm
则所用的时间为6.5s，△ACP为等腰三角形．
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△ACP为等腰三角形．