Question

如图，正方形ABCD的边长为1，当点E在边BC上运动时（不与正方形的顶点重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE=x，CF=y，求下列问题：
（1）证明△ABE∽△ECF；
（2）求出y关于x的函数关系式；
（3）试求当x取何值时？y有最大或最小值，是多少？

Answer 1

分析：（1）根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，继而得出结论．
（2）由三角形相似，得出比例关系，代入数值计算即可．
（3）把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．

解答：解：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．

（2）∵△ABE∽△ECF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

∵BE=x，CF=y，正方形ABCD的边长为1，
则CE=1-x，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=-x²+x．

（3）由（2）得y=-x²+x，
∴y=-(x-

1

2

)2+

1

4

，
∴可知抛物线的顶点为（

1

2

，

1

4

），开口向下，
∴x=

1

2

时，y_最大=

1

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质．抛物线是常考的类型题，在平时的训练中需要特别的注意．