Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为 ． （结果不取近似值）

Answer 1

【答案】3 ﹣ π
【解析】解：如图所示：设半圆的圆心为O，连接DO，过D作DG⊥AB于点G，过D作DN⊥CB于点N，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以AD为边作等边△ADE，
∴∠EAD=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
则△ADE∽△CDF，
∴△CDF是等边三角形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2 ，
∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，
则AO=BO=3，
故DG=DOsin60°= ，
则AD=3 ，DC=AC﹣AD= ，
故DN=DCsin60°= × = ，
则S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF
= ×2 ×6﹣ ×3× ﹣ ﹣ × ×
=3 ﹣ π．
所以答案是：3 ﹣ π．
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键．