题目内容

如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠BAD=60°,E为CD边中点,点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动,同时,点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动,当点P到达点C时,P,Q同时停止运动,设运动的时间为x秒.

1.当点P在线段AO上运动时.

①请用含x的代数式表示OP的长度;

②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)

2.显然,当x=0时,四边形PBEQ即梯形ABED,请问,当P在线段AC的其他位置时,以P,B,E,Q为顶点的四边形能否成为梯形?若能,求出所有满足条件的x的值;若不能,请说明理由.

 

【答案】

 

1.①由题意得∠BAO=30°,AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1,OA=OC=

    ∴OP=                                          ……………2分

    ②过点E作EH⊥BD,则EH为△COD的中位线

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴                …………………………1分

                            …………………………1分

∴      …………………………2分

2.能成为梯形,分三种情况:

    当PQ∥BE时,∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此时PB不平行QE,

∴x=时,四边形PBEQ为梯形.                 ………………………2分

当PE∥BQ时,P为OC中点

   

∴AP=,即

        ∴

此时,BQ=2-x=≠PE,

∴x=时,四边形PEQB为梯形.                            …………………2分

当EQ∥BP时,△QEH∽△BPO

    ∴    ∴

    ∴x=1(x=0舍去)

    此时,BQ不平行于PE,

∴x=1时,四边形PEQB为梯形.                   ………………………………2分

综上所述,当x=或或1时,以P,B,E,Q为顶点的四边形是梯形. 

 【解析】略

 

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