Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于点，两点（点在点的右侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，交直线于点．

（1）直接写出，，三点的坐标；

（2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；

（3）当点位于直线下方的抛物线上时，过点作于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）、、；（2）点坐标为或或；（3），

【解析】

（1）根据抛物线与坐标轴的交点可得A,B,C三点的坐标；

（2）求出直线解析式，根据平行四边形的性质可求解；

（3）设点P的坐标为，则可用含m的代数式表示点Q的坐标；可求得BQ的长，证明，得出，可用含m的代数式表示QE和PE的长度，根据面积计算公式和抛物线顶点式方程可求解.

解：（1）当时， 即

当时，有：

解得 即、

故：、、

（2）设直线解析式为，

∵，，

∴代入可得，解得，∴直线解析式为，

设坐标为，则点坐标为，点坐标为，

由题意可知，，当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，则有

，

即，或

解得，，，

综上可知点坐标为或 或；

（3）点坐标为，则点坐标为，

，在中，；

又

∵，，

∴，且，

∴，

∴

∴

∴

令，

∵在直线下方

∴当时，有最小值，点坐标为，此时取最大值为