Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

B
分析：可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．
解答：解：延长FP交AB于点N，作PM⊥EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP与△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP故①④正确；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，故②正确；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，故③⑤错误；
故正确的是：①②④．
故选B．
点评：本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．