Question

【题目】两个三角板，，按如图所示的位置摆放，点与点重合，边与边在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，，，．现固定三角板，将三角板沿射线方向平移，当点落在边上时停止运动．设三角板平移的距离为，两个三角板重叠部分的面积为．

（1）当点落在边上时，；

（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）设边的中点为点，边的中点为点．直接写出在三角板平移过程中，点与点之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：

（1）由锐角三角函数，得到的长，进而可得的长，由矩形的性质，可得答案；

（2）分类讨论：①当时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当时，

③当时，根据面积的和差，可得答案；

（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得在线段上，根据三角形的

中位线，可得的长，根据锐角三角函数，可得的长，根据线段的和差，可得答案．

试题解析：

解：（1）如图1所示：作于点．

在中，由，，得：=．

在中，．四边形是矩形，，故答案为：；

（2）①当时，如图2所示．

，，，得：， ，

重叠部分的面积为；

②当时，如图3所示．

，，，，．

重叠部分的面积为，

即，

化简，得；

③当时，如图4所示．

， ，，， ，

重叠部分的面积为，

即，

化简，得；

综上所述：；

（3）如图5所示作于点．

点在上时最短，是,． ，，，