Question

【题目】孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

（1）若测得（如图1），求的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

Answer 1

【答案】（1） （2）点的横坐标为 （3）恒过点（，）

【解析】

试题分析：

（1）先求出点坐标，代入抛物线可得值

（2）过点作轴，可证△∽△，得出，可得方程点的横坐标

（3）设（，）（），（，）（），易知△∽△，根据相似三角形性质可知交点、的连线段总经过一个固定的点（，）

试题解析：

解：（1）设线段与轴的交点为，由对称性可得为中点，

∵ ，，

∴，∴（，）

将（，）代入抛物线得，.

（2）过点作轴于点，

∵点的横坐标为，∴ （1，），

∴.

又∵，易知，又，

∴△∽△，

∴

∴

设点（，）（），则，，

∴

∴，即点的横坐标为.

（3）设（，）（），（，）（），

设直线的解析式为：，则，

得，，

∴

又易知△∽△，

∴，∴，

∴

∴.

由此可知不论为何值，直线恒过点（，）