题目内容

（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y= $数学公式$ 的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= $数学公式$ ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设P（a， $数学公式$ ）、R（b， $数学公式$ ），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB= $数学公式$ ∠AOB．

解：（1）

我们在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
（2）①设直线OM的函数关系式为y=kx，P（a， $\text{[math]}$ ）、R（b， $\text{[math]}$ ）．（1分）
则M（b， $\text{[math]}$ ），
∴k= $\text{[math]}$ ÷b= $\text{[math]}$ ．（2分）
∴直线OM的函数关系式为y= $\text{[math]}$ x．（3分）
②∵Q的坐标（a， $\text{[math]}$ ）、满足y= $\text{[math]}$ x，
∴点Q在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM= $\text{[math]}$ PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP= $\text{[math]}$ PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠SOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠SOB．（9分）
∴∠SOB= $\text{[math]}$ ∠AOB．（10分）
分析：（1）边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
（2）①直线OM是正比例函数，可利用所给的坐标得到M的坐标，代入函数解析式即可；
②根据所给的点的坐标得到Q的坐标，看是否符合（1）中的函数解析式；运用矩形的性质，作图过程中的条件，外角与不相邻内角的关系，即可求证．
点评：本题考查了反比例函数的应用，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意使用作图过程中利用的条件．