题目内容
如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在______关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．
【答案】分析：（1）通过证明∠PAE=∠EBF，结合公共角证明即可；
（2）根据AA易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知；
（3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于x的函数关系式．
解答：解：（1）相似（1分）
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
则∠PAA1=∠PBB1=
，（2分）
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）
（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=
，
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴
，
即α=2β+60°；（7分）
（3）连接BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，
∴A1B1∥AC，
由题意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA1是等边三角形，
∴A1H=sin60°A1P=
，（8分）
在Rt△ABD中，BD=
，
∴BG=
，（9分）
∴
（0≤x＜2）．（10分）
点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．
（2）根据AA易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知；
（3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于x的函数关系式．
解答：解：（1）相似（1分）
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
则∠PAA1=∠PBB1=
，（2分）∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）
（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=
，∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴
，即α=2β+60°；（7分）
（3）连接BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，
∴A1B1∥AC，
由题意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA1是等边三角形，
∴A1H=sin60°A1P=
，（8分）在Rt△ABD中，BD=
，∴BG=
，（9分）∴
（0≤x＜2）．（10分）点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．
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