Question

如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G.

（1）求证：BF＝AE；

（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立（直接写结论）；

（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF:AD＝4:3，求S_{四边形MNPQ}: S_{正方形ABCD}

 

Answer 1

【答案】

（1）∵正方形ABCD

∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°

∴∠DAE+∠ABG=90°

∵AE⊥BF

∴∠ABG+∠GAB=90°

∴∠DAE=∠ABG

∴△ADE≌△BAF

∴BF＝AE；

（2）结论成立；

（3）25：36

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证得△ADE≌△BAF，问题得证；

（2）证法同（1）；

（3）先根据三角形的中位线定理证得MNPQ为正方形，再舍AD＝3a，则BF＝5a，MQ＝，再根据正方形的面积公式即可得到结果.

（1）∵正方形ABCD

∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°

∴∠DAE+∠ABG=90°

∵AE⊥BF

∴∠ABG+∠GAB=90°

∴∠DAE=∠ABG

∴△ADE≌△BAF

∴BF＝AE；

（2）结论成立；

（3）∵点M、N分别为四边形AFEB四条边AF、EF的中点，

∴MN∥AE且MN=AE，

同理可证：MQ∥BF且MQ=BF，PQ∥AE且PQ=AE，NP∥BF且NP=BF

∵AE=BF

∴MN=MQ=PQ=NP

∴四边形MNPQ是菱形

∵AE⊥BF

∴∠MQP=90°

∴四边形MNPQ是正方形

设AD＝3a，则BF＝5a　

∴MQ＝

∴S_{四边形MNPQ}：S_正ABCD＝MQ²：AD²＝（）²　：（3a）²＝25：36.

考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理

点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.