Question

【题目】如图，在菱形中，，是边上一点，作等边，连接.

（1）求证：；

（2）与交于点，，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12°．

【解析】

（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°和等边△BEF，可以证明△FAB≌△ECB，进而可得CE=AF；
（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE的度数．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC.

∵△BEF是等边三角形，

∴BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABC＝∠FBE，

∴∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．

∴△EBC≌△FBC（SAS）．

∴CE＝AF．

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．

∴∠C＝180°－∠D＝120°．

在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，

∴∠DEP＝72°．

由（1）得，∠FEB＝60°，

∴∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．

∴∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°．