Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设CP=x．
（1）求AD的长；
（2）当x为何值时，PQ⊥AD？
（3）当x为何值时，△PQD的面积是等腰梯形ABCD面积的

4

13

？

Answer 1

分析：（1）过点B作BM⊥CD于点M，利用等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，即可得出CM的长，进而得出BC=AD的长；
（2）当PQ⊥AD时，得出∠QPD=30°，DQ=

1

2

PD，即可得出答案；
（3）分别表示出△PQD的面积和等腰梯形ABCD面积进而得出一元二次方程求出即可．

解答：解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，
∵等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，
∴CM=

1

2

×（9-4）=

5

2

，∠CBM=30°，
∴BC=AD=2CM=5；

（2）当PQ⊥AD时，
∵BC=AD，∠C=60°，
∴∠D=60°，
∴∠QPD=30°，
∴DQ=

1

2

PD，
∴

1

2

（9-x）=x，
解得：x=3，
∴当x为3时，PQ⊥AD；

（3）过点Q作QF⊥PD于点F，
由题意得：QF=DQsin60°=

3

2

x，PD=9-x，
∴△PQD的面积为：

1

2

×QF×FD=

1

2

×

3

2

x×（9-x）=-

3

4

x²+

9 3

4

x，
∵CM=

5

2

，BC=5，
∴BM=

5 3

2

，
等腰梯形ABCD面积为：

1

2

（AB+CD）×BM=

1

2

×（4+9）×

5 3

2

=

65 3

4

，
∴-

3

4

x²+

9 3

4

x=

4

13

×

65 3

4

，
解得：x₁=4，x₂=5，
∴当x为4或5时，△PQD的面积是等腰梯形ABCD面积的

4

13

．

点评：此题主要考查了四边形综合应用以及锐角三角函数关系和三角形和四边形面积求法等知识，用x表示出各边长是解题关键．