Question

（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r=

2S

l

；
（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．求点D坐标；
（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．

Answer 1

分析：（1）连接0A、OB、OC，设ABC的三边分别为a、b、c，根据：S=S_△OAC+S_△OBC+S_△OAB即可证得；
（2）首先求得内切圆的半径，即可确定D的坐标；
（3）设∠B和∠C的外角平分线交于点P，则点P为旁心，过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF=PE=OC=4，在Rt△PFC中，利用三角函数即可求解．

解答：证明：连接0A、OB、OC，设AB、CA，BC的三边分别为a、b、c，


则：S=S_△OAC+S_△OBC+S_△OAB（1分）
=

1

2

br+

1

2

ar+

1

2

cr
=

1

2

(a+b+c)r=

1

2

lr
∴r=

2S

l

（3分）

（2）∵A（-3，O），B（3，O），C（0，4）
∴AB=6，AC=BC=5（4分）l=AB+AC+BC=16，S=

1

2

AB•OC=12（5分）
由条件（1）得：r=

2S

l

=

2×12

16

=

3

2

，得D(0，

3

2

)（6分）

（3）方法一：设∠B和∠C的外角平分线交于点P，则点P为旁心（7分）
∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA
∴∠PCB=∠CBA
∴CP∥AB（8分）
过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF=PE=OC=4（10分）
在Rt△PFC中，PC=

PF

sin∠PCF

=

PF

sin∠CBO

=

4

4 5

=5
∴P（5，4）（12分）
方法二：过点B作∠B的外角平分线交AD的延长线于点P，则点P为旁心，（7分）
过点P作PE⊥x轴于E，连接BD，令P（a，b）
由∠1=∠2，∠3=∠4得：
∠1+∠4=∠2+∠3=90°
∴Rt△DOB∽Rt△BEP，∴

b

a-3

=

3

3 2

化简得：b=2a-6（1）（9分）
由Rt△AOD∽Rt△AEP得：

3

a+3

=

3 2

b

化简得：2b=a+3（2）（11分）
联立（1）、（2）解得a=5，b=4，∴P（5，4）

点评：本题主要考查了三角形的内心与外接圆，解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．