Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求

DF

CF

的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴

DE

BE

=

DP

BQ

．
∵EF∥BC，∴

DE

BE

=

DF

CF

．
又∵BQ=2DP，∴

DF

CF

=

1

2

．

（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

DE

DB

=

1

3

．
而BC=13，
∴EF=

13

3

．
又∵PD∥CG，
∴

PD

CG

=

DF

CF

=

1

2

．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴

EM

DN

=

BE

BD

=

EM

AB

=

2

3

，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=

1

2

×(

13

3

+13)×8=

208

3

．

（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=

13

2

．
∴2x+

13

2

=11-x．
解得x=

3

2

．
（ii）当PQ=GQ时，PQ=

(11-3x)2+122

=13．
解得x=2或x=

16

3

．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为

3

2

、2或

16

3

．